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Varianz und Median bei gruppierten Daten



Die Varianz ist die durchschnittliche quadratische Abweichung vom Mittelwert. Den Mittelwert haben wir wie bereits eben erwähnt letztes Video ausgerechnet.

Er beträgt 29,741 Tausend BIP pro Kopf.

Die Varianz berechnet man, indem man die relative Häufigkeit multipliziert mit der Differenz aus Merkmalsausprägung eines Merkmalsträgers, in diesem Fall das BIP pro Kopf mit dem Merkmalsträger „Bevölkerung von einem EU-Land“, und dem arithmetischen Mittel BIP/Kopf der Gesamtbevölkerung aller 6 EU-Länder.

Diese Differenz quadriert man anschließend noch, da wir ja die quadratische durchschnittliche Abweichung vom Mittelwert berechnen möchten.

Als Ergebnis erhalten wir 10,162.

Wenn wir die Standabweichung erhalten wollen, müssen wir nur noch die Wurzel ziehen. 

In der Aufgabenstellung wird ebenfalls nach dem Median gefragt. Der Median bildet genau die Mitte von verschiedenen Werten, d.h. 50 % der Messwerte/Ergebnisse sind größer und 50% der Messwerte bzw. Ergebnisse sind kleiner.

 Der Median wird vor allem dann genutzt, wenn extreme Werte (wie z.B bei der Vermögensverteilung eines Landes) den Durchschnitt extrem beeinflussen.

Bei gruppierten Daten liegt der Median bei der Merkmalsausprägung, bei dem 50% der kumulierten relativen Häufigkeiten erreicht sind. 

Bei der Bestimmung des Medians in diesem Fall neigt man schnell zu dem Fehler, ähnlich wie beim arithmetischen Mittel, nicht die Bevölkerungsverteilung miteinzubeziehen und alle Länder gleich zu behandeln. Folglich würde man das arithmetische Mittel des BIP-Pro-Kopf Einkommens von Frankreich und Belgien, also dem 3 und 4 Land als Median vermuten.

Beziehen wir die Bevölkerung der Länder mit ein und gewichten diese entsprechend der relativen Häufigkeit an der Gesamtbevölkerung aller 6 Länder, so kommen wir zu dem Ergebnis, dass das Median BIP/Kopf der 6 Länder gemäß der Gesamtbevölkerung in Deutschland zu vermuten ist, da hier 50 % der kumulierten relativen Häufigkeiten erreicht werden.

Da wir nicht wissen, wie die Bevölkerung in Deutschland gemäß dem BIP-Pro-Kopf verteilt ist, nehmen wir an, dass der gegebene Wert repräsentativ ist und die Deutschen alle 30 300 Euro pro Kopf erwirtschaften.