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Endliche Körper - Zusammenhang mit Codierung

Definition Körper:

 Ein Körper ist eine algebraischen Struktur mit einer Menge in 2 zweistelligen Verknüpfungen (Multiplikation und Addition) bzw. mit einer Menge resultierend aus mindestens der zweifachen Verknüpfung von mind. 2 Elementen einer Menge (Addition und Multiplikation bedarf mindestens  zwei Operanden).

 Erklärung:

Aus einer Menge A werden mind. Zwei Elemente auf zwei Arten verknüpft bzw. zwei Elemente einmal per Multiplikation und einmal per Addition verknüpft.

 

Für die Bezeichnung als Körper muss dabei gelten…

 

dass K,+   (d.h.  die Teilmenge des Körpers, welche der Verknüpfung durch Addition entsprungen ist), eine abelsche Gruppe ist und ein neutrales Element beinhaltet.

è Neutrale Element der Addition ist 0, da a+0=a

 

dass  K\{0},* (d.h. für die Teilmenge des Körpers, welche der Verknüpfung durch Multiplikation entsprungen ist), eine abelsche Gruppe ist und ein neutrales Element beinhaltet.

è Neutrales Element der Multiplikation ist 1 (a * 1= 1)

 

dass die Distributivgesetze gültig sind

Für alle Elemente (a,b,c ) aus der Menge K gilt:

(a+b)*c=c*a + c* b

a*(b+c)=a*b + b*c

 

Beispiele für Körper sind z.B die Menge der Reellen Zahlen, da diese all die obig genannten Bedingungen erfüllen.

 

Zusammenhang mit Codierung:

 Ein Code ist eine Menge, welche aus einer Urmenge (Alphabet) durch Verknüpfungen bzw. Rechenoperationen abgebildet wird

 Auch wenn viele Aussagen auch allgemein gültig sind für Mengen und Mengenoperationen, verwenden wir im Hinblick auf die Zielsetzung eines (fehlererkennenden) Codes einen endlichen Körper, also eine durch Addition und Multiplikation verknüpfte Menge von mindestens zwei Operanden.

 Da ein Code endlich sein muss, muss der auch der Körper endlich sein.

Ein Körper kann informell beschrieben werden als ein Rechenbereich, bei dem alle Rechenoperation bis auf das Teilen durch 0 möglich sind.