Wissen Finden
auf Improve WiFi

Wiederholung algebraische Strukturen (Gruppen, Ringe, Körper):

 In der Mathematik gibt es verschiedene Zahlenbereiche:

 

Natürlichen Zahlen           = {1, 2, 3,…}, 0 =   {0}

Ganzen Zahlen                = {x | x  0 v –x  0}

Rationalen Zahlen           = {x | x= m/n | m, n  , n≠0}

Reelle Zahlen:                 =   ǁ

Komplexe Zahlen:           = {z | z = x+iy | x,y  }

 

Diese Zahlenbereiche bilden jeweils Mengen.

Mittels der Anwendung von Rechenoperationen (+, -, *, /) auf Elemente einer Menge bzw. eines Zahlenbereiches oder aber durch die Anwendung von Rechenoperationen zwischen Elementen der verschiedenen Zahlenbereiche können neue Mengen (abge-)bildet werden.

Die Struktur dieser Abbildungen bzw. neuer Mengen ist also abhängig von der ursprünglichen Elementemenge und von den verwendeten Rechenoperatoren.

 Die neuen Abbildungen (algebraische Strukturen) können nach gewissen Gemeinsamkeiten und mathematischen Prüfverfahren in Gruppen, Ringe und Körper eingeteilt werden.

 

Verknüpfungen: 

Wie bereits erläutert, können durch Anwendung von Rechenoperationen Verknüpfungen zwischen den Elementen in einer Menge oder Elementen aus verschiedenen Mengen entstehen.

 Diese Verknüpfungen lassen sich untersuchen auf:

 Abgeschlossenheit:

Eine Verknüpfung wird als abgeschlossen bezeichnet, wenn man zwei Elemente einer Menge A verknüpft und als Ergebnis wieder ein Element der Menge A herauskommt  

A x A -> A (a°b mit {a,b} A liefert das Ergebnis c Element von A)

Assoziativität:

Eine Verknüpfung ist assoziativ, wenn dich das Ergebnis einer Verknüpfung von zwei Elementen einer Menge A nicht ändert, wenn man Klammern setzt oder weglässt.

Assoziativität lässt sich für die Rechenoperationen Multiplikation und Addition nachweisen. Verknüpfungen, welche durch subtrahieren oder dividieren entstehen, sind nicht assoziativ.

 

Neutrales Element:

Ein neutrales Element ist ein Element in einer Menge A, welches bei einer Verknüpfung mit einem Element (a) aus Menge A zu keiner Veränderung des Elements a führt.

Bei der Verknüpfung eines Elements durch Addition ist das neutrale Element 0, da a+0=a

Bei einer Verknüpfung eines Elements durch Multiplikation ist das neutrale Element 1, da a*1=a

Bei der Vektoraddition ist der Nullvektor das neutrale Element.

 

Inverse Elemente:

Inverse Elemente sind Elemente einer Menge A, welche bei einer Verknüpfung mit einem anderen Element der Menge A das neutrale Element der Menge ergeben.

So sind alle ganzzahligen negativen Zahlen die inversen Elemente aller natürlichen Zahlen, wenn es sich bei der Verknüpfung um eine Addition handelt.

Bsp: 1 + (-1)=0

Allgemein: x + (-x)=0

Bei der Multiplikation ist das inverse Element zu x sein Kehrwert 1x, denn x1x=1 (xR).

 

Kommutativität:

Die Elemente einer Menge sind kommutativ, wenn die Reihenfolge bei einer Verknüpfung beliebig vertauscht werden kann, ohne dass sich dadurch das Ergebnis verändert.

 

Kommutativität ist bei Addition und Multiplikation nachweisbar möglich, während bei Subtraktion und Division die Reihenfolge nachweisbar nicht vertauscht werden darf, außer die Elemente welche verknüpft werden sind gleich (a-a=0=a-a aber a-b ungleich b-a)